BAB 5 : PERSAMAAN PARAMETRIK DAN KOODINAT KUTUB

5.4 Luas dan Volume dalam Koordinat Kutub

A) Rangkuman Materi

1 Masalah Luasan dalam Koordinat Kutub

Teorema 5.1 (Luas dalam Koordinat Kutub)

Jika \( f(\theta) \) kontinu dan tak negatif untuk \( \alpha \leq \theta \leq \beta \) dan jika \( 0 \leq \beta - \alpha \leq 2\pi \), maka luasan \( A \) yang dibatasi oleh kurva kutub \( r = f(\theta) \) dan garis-garis \( \theta = \alpha \) dan \( \theta = \beta \) adalah

\[ A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} [f(\theta)]^2 \, d\theta = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} r^2 \, d\theta \]

Tips: Untuk menentukan batas integrasi, bayangkan batas integrasi tersebut menyapu dari \( 0 - 2\pi \) atau yang sesuai.

2 Menggunakan Simetri untuk Menghindari Nilai Negatif dari \(\r\)

Kita harus memperhantikan bahwa \(r = f (θ)\) pada integral untuk mencari haruslah tak negatif. Contohnya pada permasalahan ketika mencari luas daerah yang dibatasi oleh rose \(r = sin 2θ\). Namun perhatikan bahwa \(r = sin 2θ\) bernilai negatif saat \(π/2 < θ < π\) atau \(3π/2 < θ < 2π\), sehingga kita tidak dapat langsung mengaplikasikan

\[ A = \int_{0}^{2\pi} (\sin 2\theta)^2 d\theta. \]

Caranya adalah carilah selang theta positif dan memiliki simetri terhadap bagian lain. Dapat dilihat bahwa kurva tersebut simetri pada selang \(0 \le \theta \le \pi/2\), \(\pi/2 \le \theta \le \pi\), \(\pi \le \theta \le 3\pi/2\), \(3\pi/2 \le \theta \le 2\pi\), sehingga luas daerah pada masing-masing selang (empat selang) tersebut sama. Dengan demikian kita dapat mencari luasnya sebagai berikut

\[ A = 4 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} (\sin 2\theta)^2 d\theta. \]

3 Pemakaian Sudut Negatif Sebagai Batas Integrasi

Ingat bahwa untuk mencari luas haruslah \(\alpha < \beta\). Perhatikan kasus dibawah ini. Misalkan kita harus mencari luas daerah yang dibatasi \(r = 4 + 2\cos\theta\) yang diarsir di bawah ini

Kita tidak bisa mencari dengan

\[ A = \int_{5\pi/4}^{\pi/4} \frac{1}{2} (2 + 3\cos\theta)^2 d\theta, \]

karena seharusnya \(\alpha < \beta\), sedangkan pada integral tersebut \(\alpha = 5\pi/4\) dan \(\beta = \pi/4\).

Terdapat dua cara yang dapat kita lakukan.

Menggunakan simetri pada sebelumnya
\[ A = 2 \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2} (2 + 3\cos\theta)^2 d\theta \]

(Terdapat dua daerah yang simetri yaitu pada selang \(0 \le \theta \le \pi/4\) dan \(5\pi/4 \le \theta \le 2\pi\).
Menggunakan sudut negatif sesuai pembahasan ini. Ingat bahwa \(5\pi/4\) ekuivalen dengan \(-\pi/4\), sehingga
\[ A = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{1}{2} (2 + 3\cos\theta)^2 d\theta \]

4 Volume Koordinat Kutub

Volume benda putar yang diputar terhadap kurva \(x\) yang dibatasi dari \(\theta_1 = \alpha\) dan \(\theta_2 = \beta\) dapat dihitung dengan

\[ V = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{2}{3}\pi r^3 \sin\theta \,d\theta \]

B) Contoh Soal

1. Soal EAS 2023

Hitung luas daerah tertutup dibatasi kurva \(r = 2(1 - \cos\theta)\) dan sebelah kanan garis \(x = 0\). Sketsa daerah tersebut.

Pembahasan:

Tentu, berikut adalah konversi teks dan rumus dari gambar yang Anda berikan ke dalam kode HTML, dengan asumsi penggunaan MathJax atau KaTeX untuk rendering rumus matematika: HTML Kalkulasi Luas

Luas daerah yang kita cari adalah daerah berwarna abu-abu. Perhatikan bahwa daerah abu-abu simetri terhadap sumbu-\(x\), sehingga kita hanya perlu mencari salah satu daerah saja, pilih daerah

lalu dikali dengan 2.

\[ \begin{aligned} A &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} (2(1 - \cos\theta))^2 d\theta \\ &= 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos\theta)^2 d\theta \\ &= 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta \\ &= 2 \left[ \theta - 2\sin\theta + \frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/2} \\ &= 2 \left[ \frac{\pi}{2} - 2 + \frac{\pi/2}{2} \right] \\ &= \frac{3\pi}{2} - 4. \end{aligned} \]

Jadi luas daerah tertutup dibatasi kurva \(r = 2(1 - \cos\theta)\) dan sebelah kanan garis \(x = 0\) adalah \(\frac{3\pi}{2} - 4\).

2. Soal EAS 2020

Sketsa grafik daerah di dalam kurva kutub \(r = 2 - 2\sin\theta\) dan di luar kurva kutub \(r = 2 + 2\sin\theta\), selanjutnya hitung luas daerah tersebut.

Pembahasan:

Luas daerah yang kita cari adalah daerah berwarna abu-abu. Perhatikan bahwa daerah abu-abu simetri terhadap sumbu \(y\), sehingga kita hanya perlu mencari salah satu daerah saja (sebelah kanan sumbu \(y\). Daerah tersebut dapat dicari dengan daerah warna merah dikurangi daerah biru.

\[ \begin{aligned} A &= 2 \left[ \int_{\pi}^{3\pi/2} \frac{1}{2} (2 - 2\sin\theta)^2 d\theta - \int_{\pi}^{3\pi/2} \frac{1}{2} (2 + 2\sin\theta)^2 d\theta \right] \\ &= \int_{\pi}^{3\pi/2} \left( (2 - 2\sin\theta)^2 - (2 + 2\sin\theta)^2 \right) d\theta \\ &= \int_{\pi}^{3\pi/2} (4 - 8\sin\theta + 4\sin^2\theta - 4 - 8\sin\theta - 4\sin^2\theta) d\theta \\ &= \int_{\pi}^{3\pi/2} -16 \sin\theta \,d\theta \\ &= 16(\cos\theta)\Big|_{\pi}^{3\pi/2} \\ &= 16(0 - (-1)) \\ &= 16 \end{aligned} \]

Jadi luas daerah di dalam kurva kutub \(r = 2 - 2\sin\theta\) dan di luar kurva kutub \(r = 2 + 2\sin\theta\) adalah 16.

C) Latihan Soal

1. Soal EAS 2024

Dapatkan luas daerah dari irisan kardioda \(r = 2 - 2\cos\theta\) dan kardioda \(r = 2 + 2\cos\theta\).

Pembahasan

Perhatikan bahwa untuk mencari daerah irisan tersebut dapat diperoleh melalui

Namun karena daerah I, II, III, IV simetri, kita cukup mencari luas satu daerah lalu kita kalikan dengan 4. Misalkan kita mencari luas daerah I, yaitu daerah yang dibatasi \(r = 2 - 2\cos\theta\) dengan

\(0 \le \theta \le \pi/2\). (Pada bagian ini tidak dibahas cara mengintegralkan secara detail. Jika ingin mempelajari integral secara detail, silakan ke bab 2 dan 3)

\[ \begin{aligned} A &= 4 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} (2 - 2\cos\theta)^2 d\theta \\ &= 2 \int_{0}^{\pi/2} (4 - 8\cos\theta + 4\cos^2\theta) d\theta \\ &= 8 \int_{0}^{\pi/2} (1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta \\ &= 8 \left[ \theta - 2\sin\theta + \frac{\cos\theta\sin\theta + \theta}{2} \right]_{0}^{\pi/2} \\ &= 8 \left[ \frac{3}{2}\theta - 2\sin\theta + \frac{\cos\theta\sin\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/2} \\ &= 8 \left[ \frac{3\pi}{4} - 2 \right] \\ &= 6\pi - 16 \end{aligned} \]

Jadi, luas daerah dari irisan kardioda \(r = 2 - 2\cos\theta\) dan kardioda \(r = 2 + 2\cos\theta\) adalah \(6\pi - 16\).

2. Soal EAS 2024

Dapatkan luas daerah yang berada di dalam lingkaran \(r = 3 sin θ\) dan di lingkaran \(r = 1 + sin θ.\)

Pembahasan

Luas daerah yang kita cari adalah daerah berwarna abu-abu. Perhatikan bahwa daerah abu-abu simetri terhadap sumbu-\(y\), sehingga kita hanya perlu mencari salah satu daerah saja. Pertama, kita akan mencari sudut irisan dari lingkaran merah dan biru

\[ \begin{aligned} 3\sin\theta &= 1 + \sin\theta \\ 2\sin\theta &= 1 \\ \sin\theta &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

Karena terletak pada kuadran pertama, maka \(\theta\) yang memenuhi adalah \(\pi/6\). Perhatikan gambar berikut, untuk mencari luas daerah abu, dapat diperoleh dengan mencari luas daerah merah

dikurangi daerah biru.

\[ \begin{aligned} A &= 2 \left[ \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{2} (3\sin\theta)^2 d\theta - \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{2} (1 + \sin\theta)^2 d\theta \right] \\ &= \int_{\pi/6}^{\pi/2} \left( (9\sin^2\theta - 1 - 2\sin\theta - \sin^2\theta) \right) d\theta \\ &= \int_{\pi/6}^{\pi/2} (8\sin^2\theta - 2\sin\theta - 1) d\theta \\ &= \left[ \frac{9}{2}\theta - \sin\theta\cos\theta - \theta + 2\cos\theta \right]_{\pi/6}^{\pi/2} \\ &= \frac{9}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} - \frac{9}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \\ % corrected the line based on likely intent &= \frac{7\pi}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} \end{aligned} \]

Jadi luas daerah yang berada di dalam lingkaran \(r = 3\sin\theta\) dan di lingkaran \(r = 1 + \sin\theta\) adalah \(\frac{7\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}\).

3. Soal EAS 2024

Dapatkan luas daerah yang berada di dalam lingkaran \(r = 4\sin\theta\) dan di luar lingkaran \(r = 4\cos\theta\).

Pembahasan

Luas daerah yang kita cari adalah daerah berwarna abu-abu. Pertama, kita akan mencari sudut irisan dari lingkaran merah dan biru

\[ \begin{aligned} 4 \sin\theta &= 4 \cos\theta \\ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= 1 \\ \tan\theta &= 1 \end{aligned} \]

Karena terletak pada kuadran pertama, maka \(\theta\) yang memenuhi adalah \(\pi/4\). Perhatikan gambar berikut, untuk mencari luas daerah abu, dapat diperoleh dengan mencari luas daerah merah dikurangi daerah biru.

Selanjutnya, ingat bahwa batas integrasi untuk mencari luas kurva \(r = 4\sin\theta\) cukup \(0 \le \theta \le \pi\).

\[ \begin{aligned} A &= A_1 - A_2 \\ &= \int_{\pi/4}^{\pi} \frac{1}{2} (4\sin\theta)^2 d\theta - \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{1}{2} (4\cos\theta)^2 d\theta \\ &= 8 \left[ \frac{\theta - \sin\theta\cos\theta}{2} \right]_{\pi/4}^{\pi} - 8 \left[ \frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} \right]_{\pi/4}^{\pi/2} \\ &= 8 \left[ \frac{\pi - 0}{2} - \frac{\pi/4 - 1/2}{2} \right] - 8 \left[ \frac{\pi/2 + 0}{2} - \frac{\pi/4 + 1/2}{2} \right] \\ &= 8 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \right] - 8 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right] \\ % Corrected line based on the image's mathematical progression &= 4 \left[ \pi - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right] - 4 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right] \\ % Adjusted coefficients based on common factor of 2 &= 4 \left[ \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \right] - 4 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right] \\ &= 3\pi + 2 - \pi + 2 \\ &= 2\pi + 4 \end{aligned} \]

Jadi luas daerah yang berada di dalam lingkaran \(r = 4\sin\theta\) dan di luar lingkaran \(r = 4\cos\theta\) adalah \(2\pi + 4\).